Những dự đoán về sóng S đi ra khỏi lý thuyết trong những năm 1800 bắt đầu với mối quan hệ ứng suất-độ biến dạng cho một chất rắn đẳng hướng trong ký hiệu Einstein:

τ i j = λ δ i j e k k + 2 μ e i j {\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}e_{kk}+2\mu e_{ij}}

  τ {\displaystyle \tau } là độ căng, λ {\displaystyle \lambda } và μ {\displaystyle \mu } là tham số Lame (với μ {\displaystyle \mu }  là  mô đun cắt), δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} là Kronecker delta, và tenxơ biến dạng được xác định bằng phương trình:

e i j = 1 2 ( ∂ i u j + ∂ j u i ) {\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}

với độ biến dạng di chuyển u. Thay thế nó vào phương trình trước đó:

τ i j = λ δ i j ∂ k u k + μ ( ∂ i u j + ∂ j u i ) {\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\partial _{k}u_{k}+\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}

Định luật Newton 2 trong trường hợp này cung cấp phươg trình chuyển động đồng nhất cho sự di chuyển của sóng địa chấn:

ρ ∂ 2 u i ∂ t 2 = ∂ j τ i j {\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}=\partial _{j}\tau _{ij}}

ρ {\displaystyle \rho } là khối lượng riêng. Thay phương trình tenxơ biến dạng vào:

ρ ∂ 2 u i ∂ t 2 = ∂ i λ ∂ k u k + ∂ j μ ( ∂ i u j + ∂ j u i ) = λ ∂ i ∂ k u k + μ ∂ i ∂ j u j + μ ∂ j ∂ j u i {\displaystyle {\begin{aligned}\rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}&=\partial _{i}\lambda \partial _{k}u_{k}+\partial _{j}\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)\\&=\lambda \partial _{i}\partial _{k}u_{k}+\mu \partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\mu \partial _{j}\partial _{j}u_{i}\end{aligned}}}

Áp dụng véc tơ đơn vị và thực hiện một số ước lượng cho phương trình sóng địa chấn trong môi trường đồng nhất:

ρ u ¨ = ( λ + 2 μ ) ∇ ( ∇ ⋅ u ) − μ ∇ × ( ∇ × u ) {\displaystyle \rho {\ddot {\boldsymbol {u}}}=\left(\lambda +2\mu \right)\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {u}})-\mu \nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {u}})}

Lấy rot của phương trình này và áp dụng véc tơ đơn vị ta có:

∇ 2 ( ∇ × u ) − 1 β 2 ∂ 2 ∂ t 2 ( ∇ × u ) = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})-{\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)=0}

nó chỉ đơn giản là phương trình sóng dược áp dụng cho rot của u với một vận tốc β {\displaystyle \beta } thoả mãn

β 2 = μ ρ {\displaystyle \beta ^{2}={\frac {\mu }{\rho }}}

Phương trình này mô tả sự truyền sóng S. Lấy div của phương trình sóng địa chấn trong môi trường đồng nhất, thay vì rot, ta có phương trình mô tả cách truyền sóng P.Các trạng tháihttps://en.wikipedia.org/wiki/Steady-state ổn định của sóng SH được xác định bởi việc phương trình Helmholtz

( ∇ 2 + k 2 ) u = 0 {\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2}){\boldsymbol {u}}=0} [2]

k là số sóng.